根据我国刑法的规定，执行政治权利剥夺的刑罚时，需重视以下三个关键环节：

一、政治权利剥夺的期限。依据刑法规定，主要分为以下四种情况：

1. 对于单独被判处政治权利剥夺或主刑为拘役、有期徒刑并附加政治权利剥夺的犯罪分子，其政治权利剥夺的期限为一年以上五年以下。

2. 对于被判处管制刑并附加政治权利剥夺的犯罪分子，其政治权利剥夺的期限与管制的期限一致。

3. 对于被判处死刑或无期徒刑的犯罪分子，将终身剥夺其政治权利。这是政治权利剥夺中最严厉的处罚。

4. 对于被判处死刑缓期执行或无期徒刑并后改为有期徒刑的犯罪分子，原先附加的政治权利剥夺期限将更改为三年以上十年以下。

二、政治权利剥夺刑期的计算方式。根据主刑的不同，主要有以下四种情况：

1. 对于被判处死刑或无期徒刑并附加终身政治权利剥夺的犯罪分子，其政治权利剥夺的刑期将从判决生效之日起开始计算。

2. 对于被判处管制的犯罪分子并附加政治权利剥夺的，其刑期将从判决执行之日起开始计算并同时执行。这意味着在管制期间，政治权利即被剥夺，当管制期满解除时，政治权利也将同时恢复。

3. 对于被判处有期徒刑、拘役并附加政治权利剥夺的犯罪分子，其政治权利剥夺的刑期将从有期徒刑、拘役执行完毕之日或假释之日起开始计算，且在有期徒刑、拘役执行期间，政治权利剥夺的效力自然生效。

4. 对于单独被判处政治权利剥夺的犯罪分子，其政治权利剥夺应从判决或裁定生效之日起开始计算。

三、政治权利剥夺的执行过程。依据刑事诉讼法的规定，对于被判为政治权利剥夺的犯罪分子，由公安机关负责执行。当政治权利剥夺期满后，公安机关需通知本人，并向公众公开宣布恢复其政治权利。一旦犯罪分子的政治权利得到恢复，他们将享有法律赋予公民的政治权利。

对于被判处有期徒刑、拘役、管制但未附加政治权利剥夺的犯罪分子，他们仍享有政治权利。