当遭遇交通事故而对方全责却不愿支付相关费用时，我们可以采取以下策略来维护自己的权益：

在确认车辆是否购买了车辆保险后，可及时向保险公司提出申请，请求其先行垫付部分医疗费用。这样做，能够减轻部分经济压力。

如果肇事方有足够的经济能力但拒绝垫付医疗费用或其他相关费用，可以向人民法院提出申请，要求先予执行。先予执行意味着在正式审理之前，法院会根据情况提前作出一定的裁决，确保紧急情况下受害方的权益得到保障。

第三，还可以申请道路交通事故社会救助基金。这一基金的设立就是为了在交通事故中为受害方提供及时的救助和支援。

第四，选择保险代位追偿也是一种有效的途径。如果受损一方选择这种方式，可以要求自己的保险公司先行赔付，随后再由保险公司负责向对方追偿。这样，既可以迅速获得赔偿，又能确保保险公司的权益不受损害。

若上述方法仍无法解决问题，最后可以选择向法院提起民事诉讼。具体起诉流程如下：

一、原告需向人民法院递交起诉状、副本及相关的证据材料。

二、人民法院在接受文件后，会对提交的材料进行审查，符合条件的将会立案处理。

三、法院将起诉书副本送达被告方，并要求其作出书面答辩。

四、经过开庭审理，法院将根据事实和法律作出最终判决。

法律依据：

根据《民事诉讼法》第一百二十二条的规定，起诉必须满足以下条件：原告与案件有直接利害关系；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实、理由；并且属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉法院的管辖范围。

寻求专业帮助：

当面临复杂的法律问题时，寻求专业律师的帮助是明智之举。如果您需要更具体的建议或想在当地找到合适的律师，可以通过以下途径：

1. 点击“找律师”选项，可以选择同城、专业领域、是否在线以及电话咨询服务。此服务提供私密咨询，帮助您快速解决法律问题。

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在选择律师时，无论您是咨询问题还是打算打官司，以下几点都值得关注：优秀的职业素养、快速的响应速度、诚恳的服务态度以及丰富的执业经验和良好的形象气质。请记住，每个案件都有其独特性，因此最好的解决方案是咨询专业律师以获得针对性的建议。如有需要，请尽快咨询以获得更好的法律支持！