当面临对方坚持不支付抚养费用的情况时，您可以考虑以下解决方案：

一、有效沟通与证据的妥善保存

在与对方沟通时，务必明确阐述抚养费支付的法定责任及双方的责任。您应竭力敦促对方依照规定支付相关款项。为了将来可能涉及的法律程序，应详细记录每次交流的内容和关键信息，例如聊天记录、电话通话记录等。这些资料可以作为日后法律程序的依据。

二、向法院提起诉讼请求

若经过多次沟通后，对方仍然拒绝支付抚养费用，您有权向其所在地的法院提交关于抚养费纠纷的诉讼请求。在此过程中，您需准备并提交相关证据材料，如离婚协议、法院判决书以及之前的沟通记录等，以证明对方未履行支付抚养费的义务。

三、申请强制执行

若您已获得法院的判决结果，但对方仍然拒绝支付抚养费用，您可以向法院申请强制执行。在确认对方具备支付能力却故意拖欠的情况下，法院将采取相应的强制措施，如冻结对方银行账户、查封财产等，以确保抚养费能够及时支付。

四、法律依据与诉讼条件

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关条款，提起诉讼需满足以下条件：

1. 原告须与本案有直接利害关系；

2. 需有明确的被告；

3. 诉讼请求和事实、理由需具体明确；

4. 案件需属于人民法院受理民事诉讼的范围，并由受诉人民法院管辖。

若决定起诉，应向人民法院递交起诉状，并按被告人数提出副本。若书写起诉状有困难，可口头起诉，由人民法院记入笔录，并通知对方当事人。

五、离婚后子女抚养费支付时限的相关规定

离婚后，若您是负责支付抚养费的一方，通常需支付至子女年满18周岁成年。若子女在16岁后有能力通过自身劳动维持生活，则可适当减少或停止支付抚养费，但具体还需依据法律规定和实际情况来判断。

以上内容旨在为您提供在面对对方不支付抚养费用时的解决方案和相关法律依据。请根据实际情况选择合适的处理方法，并咨询专业律师以获取更详细的建议。